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关于黎曼猜想

前几日关于黎曼猜想(Riemann Hypothesis)被证明的消息在网络上炒得沸沸扬扬,菲尔兹奖、阿贝尔奖双料得主Michael Francis Atiyah爵士声称他证明了这个困扰了数学界160年的问题,且其目的是为了研究精细结构常数。然而,在他公布了他的Simple Proof后,却不被学界所看好,甚至遭到了一些尖锐的批评。毕竟,这篇只有五页纸的文章,刨去介绍等内容,并没有展示太多的细节;其证明过程,又依赖于一个存疑的Todd function。如果如证明中所说,黎曼猜想真的指向了精细结构常数,这对于由第一性原理出发构建物理学体系将有极大的启发性,其结果无疑是令人激动的。但是经过计算,却发现文中所声称的极限存在问题,整个理论的正确性难以得到证实。
有鉴于此,博主研究该证明过程的计划搁置了(毕竟没有什么价值,大概可以用来提升读Paper的能力#捂脸),还是写篇文章介绍下黎曼猜想本身吧。

猜想的提出

时间回到1859年,著名的德国数学家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想。黎曼本人在数学界颇有建树,但他却并没有试图对论文中的猜想给出证明。
这个猜想是关于黎曼 \zeta 函数的,该函数的定义为:
\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots
注意, \zeta 函数必须经过解析延拓,才能在全复平面上有定义,稍后将给出解析延拓的过程。
而黎曼猜想就是: \zeta(s) 的所有非平凡零点的实部均为 \frac{1}{2}

\zeta 函数的解析延拓

前言

在中学数学中,我们所接触到的函数都是实变函数,即从实数集到实数集的映射,写为 f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 。在接触了虚数单位i和复数后,就可以开始定义复变函数,即复数集到复数集的映射,写为 f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} 。实变函数的定义域被限制在了实轴上,而为了表示出一个与之对应的复变函数,就需要扩充其定义域到复平面上。这样,可以定义出复数域上的各种函数:指数、对数、三角函数等。由于复数的性质,还需要根据枝点规定割线、单值分支等,来确定出函数值。而原本定义域只在复平面上某一区域的复变函数,经过严格的数学推导(例如级数展开等),也可以扩充其定义域。这时,解析延拓的办法应运而生。对于 \zeta(s) 函数而言,非常明显,当 s 取在实轴上(即作为实变函数时),若 s\le 1 ,其函数值发散;而 s>1 时收敛。特别的, s=1 时为调和级数,而 s=2 时由高斯最早计算出了其函数值 \frac{\pi^2}{6}
在复数域上,可以证明, \zeta(s) Re(s)>1 上解析。接下来,我们需要将其定义域扩展到全复平面;之前的级数定义将不在对 Re(s)<1 的情况使用,因为它不收敛,无法采用Cauchy和。

梅林变换

梅林(Mellin)变换是一个积分变换,它把一个正实数域 \mathbb{R}^+ 上的函数变换为一个复数域 \mathbb{C} 上的函数。设 f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{C} 是一个函数,定义:
\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}
\mathcal{M}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} f 的梅林变换。
f(s) f_\lambda (s)=e^{-\lambda s} ,则有:
\begin{align*} \mathcal{M}f(z)&=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda s}s^z\frac{ds}{s}\\ &=\lambda^{-z}\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{z-1}ds\\ &=\lambda^{-z}\Gamma(z) \end{align*}
这里的 \Gamma(z) 就是一般数理方程中会涉及到的 \Gamma 函数,其性质不再赘述。
记住以上结论,取 \lambda=\pi n^2 ,继续构造函数:
f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{\pi n^2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2 s}
注意到梅林变换是线性的,这时,
\begin{align*} \mathcal{M}f(z)&=\sum_{n=1}^{\infty}\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(\pi n^2)^{-z}\Gamma(z)\\ &=\pi^{-z}\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2z}\Gamma(z)\\ &=\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z) \end{align*}
最后一个等号使用了 \zeta 函数的原始定义。考虑到:
\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2 s})s^{z-1}ds
于是,利用 \mathcal{M}f(z) 的两个等价表达式,我们得到了一个重要结论:
\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^2 s})s^{z-1}ds
注意,这里的推导并非十分严谨,还需要证明其收敛性,才能交换积分与极限。这要求 Re(z)>\frac{1}{2}

泊松求和

再来看一下Fourier变换
\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt
对于足够「好」的函数 f ,可以证明泊松(Poisson)求和公式
\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)
这部分我们就证明这个公式。
假设 f 足够「好」(要多好有多好),定义
F(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)
F \mathbb{R} 上周期为 1 的函数,于是可以构造 F 的Fourier级数:令
c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt
是第 k 个Fourier系数,则
F(t)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}
而这个系数
\begin{align*} c_k&=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt\\ &=\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)e^{-2\pi ik(n+t)}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi ikt}dt\\ &=\mathcal{F}f(k) \end{align*}
从而
\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=F(0)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(k)
就得到了Poisson求和公式形式上的「证明」。
那么 f 究竟要满足什么条件呢?
如果周期函数 F\in C^2[0,1] ,就有 F(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt} 。因此,我们要求 f 二阶连续可导,并且
\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}<+\infty
使用导数一致收敛的判别法则,就得到 F\in C^2[0,1] 啦。
也就是说,如果 f\in C^2(\mathbb{R}) ,并且满足以上条件,就有Poisson求和公式
\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)

解析延拓

\lambda>0 ,令
\begin{eqnarray*} \theta(\lambda)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}\\ \psi(\lambda)&=&\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2\lambda} \end{eqnarray*}
很显然 \theta(\lambda)=2\psi(\lambda)+1
考虑 f(t)=e^{-\pi t^2\lambda} ,计算得 \mathcal{F}f(x)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}e^{-\pi\frac{x^2}{\lambda}} ,而且满足相应条件,因此用Poisson求和公式,
\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi\frac{n^2}{\lambda}}
\theta(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\theta\left(\frac{1}{\lambda}\right)
换成 \psi 就是 \psi\left(\frac{1}{\lambda}\right)=\sqrt{\lambda}\psi(\lambda)+\frac{\sqrt{\lambda}-1}{2}
第二部分的最后,得到了
\begin{align*} \pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)&=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds\\ &=\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds \end{align*}
因此
\begin{align*} \pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)&=\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds\\ &=\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_0^1\psi(s)s^{z-1}ds\\ &=\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\psi\left(\frac{1}{s}\right)s^{1-z}\frac{ds}{s^2}\\ &=\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\left(\psi(s)\sqrt{s}+\frac{\sqrt{s}-1}{2}\right)s^{-1-z}ds\\ &=\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\int_1^{+\infty}\frac{s^{-z-\frac{1}{2}}-s^{-z-1}}{2}ds\\ &=\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\frac{1}{2z(2z-1)} \end{align*}
以上计算的前提是 Re(z)>\frac{1}{2}
w=2z ,则当 Re(w)>1 时,
\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\int_1^{+\infty}\psi(s)(\sqrt{s}^{w-2}+\sqrt{s}^{-w-1})ds-\frac{1}{w(1-w)}
现在观察:等号右边是一个亚纯函数(亚纯函数就是「能表示成两个解析函数的商」的函数,或者「没有本性奇点」的函数,两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数),而等号左边的 \sqrt{\pi}^{-w} \Gamma\left(\frac{w}{2}\right) 也都是亚纯函数。这样,上式相当于给出了 \zeta(w) w\in\mathbb{C} 上的定义!

所有自然数的「和」

这还没完,试试在等号右边把 w 换为 1-w ,你会发现式子根本没变。这就说明:
\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{w-1}\zeta(1-w)\Gamma\left(\frac{1-w}{2}\right)
现在让 w=-1 ,就有
\sqrt{\pi}\zeta(-1)\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)
我们知道
\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
并且,
\begin{eqnarray*} \Gamma(1)&=&1\\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)&=&\sqrt{\pi}\\ \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)&=&\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}
因此:
\zeta(-1)=\frac{\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{\pi^2}{6}}{\sqrt{\pi}^3(-2)\sqrt{\pi}}=-\frac{1}{12}
我们便得出了全体自然数的「和」为 -\frac{1}{12} 这一结论。

黎曼猜想与素数

欧拉乘积公式

\zeta 函数的原始定义出发:
\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots
在等式两边同时乘以第二项:
\frac{1}{2^s}\times\zeta(s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots
两式相减得:
(1-\frac{1}{2^s})\times\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\cdots
这时,等号右边的分母上已经没有2的倍数了。重复这一过程:
\frac{1}{3^s}\times(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\cdots
以上两式相减,又有:
(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\cdots
等号右边也没有3的倍数了。无限重复此过程,就有:
\cdots(1-\frac{1}{11^s})(1-\frac{1}{7^s})(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})\zeta(s)=1
即:
\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{7^s}}\times\cdots
可以写成:
\zeta(s)=\sum_n\frac{1}{n^s}=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}
这就是欧拉乘积公式,该表达式首先出现在1737年一篇题为《Variae observationes circa series infinitas》(无穷级数的各种观察)的论文中。
该恒等式展示了素数与 \zeta 函数间的联系。

莫比乌斯函数

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯之后重写了欧拉乘积公式,创造了一个新的求和。首先引入莫比乌斯函数:
\mu(n)= \begin{cases} 1 & n是偶数个不同的素数相乘\\ -1 & n是奇数个不同的素数相乘\\ 0 & n被某个素数的平方整除 \end{cases}
和式用 \mu(n) 表示如下:
\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\mu(n)}{n^s}

素数计数函数

定义为
\pi(x)=\sum_{p\le x}1
表示不超过x的素数个数。
在间断点处用左右平均代替更好,重新定义:
\pi(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{p\le x}1+\sum_{p< x}1\right)

\Pi(x)=\sum_n\frac{1}{n}\pi(x^{\frac{1}{n}})
有莫比乌斯反转
\pi(x)=\sum_n\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{\frac{1}{n}})

素数定理

素数定理由高斯和勒让德独立地阐述:
\mathop{\lim}_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}}=1
目前人类证明的素数定理的误差界是
\pi(x)=Li(x)+O\left(x\exp\left({-\frac{A(\ln x)^{0.6}}{(\ln\ln x)^{0.2}}}\right)\right)
从概率的角度来说,素数定理说明若你随机选择一个自然数 x ,那么该数字为素数的概率约为 \frac{1}{\ln(x)} 。这意味着前 x 个整数中相邻素数之间的平均间隙约为 \ln(x)

对数积分函数

定义
Li(x)=\int_2^x\frac{1}{\ln(t)}dt
称为对数积分函数。
那么
\Pi(x)=Li(x)-\sum_{\rho}Li(x^{\rho})-\ln 2+\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}
其中求和号的 \rho \zeta(s) 的非平凡零点,求和之后通常表现为震荡。至于剩下的常数和积分,对较大的 x 可以忽略。

未完待续

敬请期待


参考文章:
黎曼猜想 - 维基百科
为什么全体自然数的和是负十二分之一? - 知乎
黎曼猜想跟素数分布有怎样的联系 - 知乎
黎曼猜想,及其解释(上) - 知乎
黎曼猜想,及其解释(下) - 知乎

拓展阅读:The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation

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