关于黎曼猜想
前几日关于黎曼猜想(Riemann Hypothesis)被证明的消息在网络上炒得沸沸扬扬,菲尔兹奖、阿贝尔奖双料得主 Michael Francis Atiyah 爵士声称他证明了这个困扰了数学界 160 年的问题,且其目的是为了研究精细结构常数。然而,在他公布了他的 Simple Proof 后,却不被学界所看好,甚至遭到了一些尖锐的批评。毕竟,这篇只有五页纸的文章,刨去介绍等内容,并没有展示太多的细节;其证明过程,又依赖于一个存疑的 Todd function。如果如证明中所说,黎曼猜想真的指向了精细结构常数,这对于由第一性原理出发构建物理学体系将有极大的启发性,其结果无疑是令人激动的。但是经过计算,却发现文中所声称的极限存在问题,整个理论的正确性难以得到证实。
有鉴于此,笔者研究该证明过程的计划搁置了(毕竟没有什么价值,大概可以用来提升读 Paper 的能力 #捂脸),还是写篇文章介绍下黎曼猜想本身吧。
猜想的提出
时间回到 1859 年,著名的德国数学家波恩哈德・黎曼(Bernhard Riemann)在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想。黎曼本人在数学界颇有建树,但他却并没有试图对论文中的猜想给出证明。
这个猜想是关于黎曼
注意,
而黎曼猜想就是:
函数的解析延拓
前言
在中学数学中,我们所接触到的函数都是实变函数,即从实数集到实数集的映射,写为
在复数域上,可以证明,
梅林变换
梅林(Mellin)变换是一个积分变换,它把一个正实数域
称
取
这里的
记住以上结论,取
注意到梅林变换是线性的,这时,
最后一个等号使用了
于是,利用
注意,这里的推导并非十分严谨,还需要证明其收敛性,才能交换积分与极限。这要求
泊松求和
再来看一下 Fourier 变换
对于足够「好」的函数
这部分我们就证明这个公式。
假设
则
是第
而这个系数
从而
就得到了 Poisson 求和公式形式上的「证明」。
那么
如果周期函数
使用导数一致收敛的判别法则,就得到
也就是说,如果
解析延拓
设
很显然
考虑
即
换成
第二部分的最后,得到了
因此
以上计算的前提是
令
现在观察:等号右边是一个亚纯函数(亚纯函数就是「能表示成两个解析函数的商」的函数,或者「没有本性奇点」的函数,两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数),而等号左边的
所有自然数的「和」
这还没完,试试在等号右边把
现在让
我们知道
并且,
因此:
我们便得出了全体自然数的「和」为
黎曼猜想与素数
欧拉乘积公式
从
在等式两边同时乘以第二项:
两式相减得:
这时,等号右边的分母上已经没有 2 的倍数了。重复这一过程:
以上两式相减,又有:
等号右边也没有 3 的倍数了。无限重复此过程,就有:
即:
可以写成:
这就是欧拉乘积公式,该表达式首先出现在 1737 年一篇题为《Variae observationes circa series infinitas》(无穷级数的各种观察)的论文中。
该恒等式展示了素数与
莫比乌斯函数
奥古斯特・费迪南德・莫比乌斯之后重写了欧拉乘积公式,创造了一个新的求和。首先引入莫比乌斯函数:
和式用
素数计数函数
定义为
表示不超过 x 的素数个数。
在间断点处用左右平均代替更好,重新定义:
令
有莫比乌斯反转
素数定理
素数定理由高斯和勒让德独立地阐述:
目前人类证明的素数定理的误差界是
从概率的角度来说,素数定理说明若你随机选择一个自然数
对数积分函数
定义
称为对数积分函数。
那么
其中求和号的
未完待续
敬请期待
参考文章:
黎曼猜想 - 维基百科
为什么全体自然数的和是负十二分之一? - 知乎
黎曼猜想跟素数分布有怎样的联系 - 知乎
黎曼猜想,及其解释(上) - 知乎
黎曼猜想,及其解释(下) - 知乎
拓展阅读:
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation
Does 1+2+3... Really Equal -1/12?
你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?