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关于黎曼猜想

前几日关于黎曼猜想(Riemann Hypothesis)被证明的消息在网络上炒得沸沸扬扬,菲尔兹奖、阿贝尔奖双料得主 Michael Francis Atiyah 爵士声称他证明了这个困扰了数学界 160 年的问题,且其目的是为了研究精细结构常数。然而,在他公布了他的 Simple Proof 后,却不被学界所看好,甚至遭到了一些尖锐的批评。毕竟,这篇只有五页纸的文章,刨去介绍等内容,并没有展示太多的细节;其证明过程,又依赖于一个存疑的 Todd function。如果如证明中所说,黎曼猜想真的指向了精细结构常数,这对于由第一性原理出发构建物理学体系将有极大的启发性,其结果无疑是令人激动的。但是经过计算,却发现文中所声称的极限存在问题,整个理论的正确性难以得到证实。
有鉴于此,笔者研究该证明过程的计划搁置了(毕竟没有什么价值,大概可以用来提升读 Paper 的能力 #捂脸),还是写篇文章介绍下黎曼猜想本身吧。

猜想的提出

时间回到 1859 年,著名的德国数学家波恩哈德・黎曼(Bernhard Riemann)在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想。黎曼本人在数学界颇有建树,但他却并没有试图对论文中的猜想给出证明。
这个猜想是关于黎曼函数的,该函数的定义为:

注意,函数必须经过解析延拓,才能在全复平面上有定义,稍后将给出解析延拓的过程。
而黎曼猜想就是:的所有非平凡零点的实部均为

函数的解析延拓

前言

在中学数学中,我们所接触到的函数都是实变函数,即从实数集到实数集的映射,写为。在接触了虚数单位 i 和复数后,就可以开始定义复变函数,即复数集到复数集的映射,写为。实变函数的定义域被限制在了实轴上,而为了表示出一个与之对应的复变函数,就需要扩充其定义域到复平面上。这样,可以定义出复数域上的各种函数:指数、对数、三角函数等。由于复数的性质,还需要根据枝点规定割线、单值分支等,来确定出函数值。而原本定义域只在复平面上某一区域的复变函数,经过严格的数学推导(例如级数展开等),也可以扩充其定义域。这时,解析延拓的办法应运而生。对于函数而言,非常明显,当取在实轴上(即作为实变函数时),若,其函数值发散;而时收敛。特别的,时为调和级数,而时由高斯最早计算出了其函数值
在复数域上,可以证明,上解析。接下来,我们需要将其定义域扩展到全复平面;之前的级数定义将不在对的情况使用,因为它不收敛,无法采用 Cauchy 和。

梅林变换

梅林(Mellin)变换是一个积分变换,它把一个正实数域上的函数变换为一个复数域上的函数。设是一个函数,定义:

的梅林变换。
,则有:

这里的就是一般数理方程中会涉及到的函数,其性质不再赘述。
记住以上结论,取,继续构造函数:

注意到梅林变换是线性的,这时,

最后一个等号使用了函数的原始定义。考虑到:

于是,利用的两个等价表达式,我们得到了一个重要结论:

注意,这里的推导并非十分严谨,还需要证明其收敛性,才能交换积分与极限。这要求

泊松求和

再来看一下 Fourier 变换

对于足够「好」的函数,可以证明泊松(Poisson)求和公式

这部分我们就证明这个公式。
假设足够「好」(要多好有多好),定义

上周期为的函数,于是可以构造的 Fourier 级数:令

是第个 Fourier 系数,则

而这个系数

从而

就得到了 Poisson 求和公式形式上的「证明」。
那么究竟要满足什么条件呢?
如果周期函数,就有。因此,我们要求二阶连续可导,并且
Math output error
使用导数一致收敛的判别法则,就得到啦。
也就是说,如果,并且满足以上条件,就有 Poisson 求和公式

解析延拓

,令

很显然
考虑,计算得,而且满足相应条件,因此用 Poisson 求和公式,


换成就是
第二部分的最后,得到了

因此

以上计算的前提是
,则当时,

现在观察:等号右边是一个亚纯函数(亚纯函数就是「能表示成两个解析函数的商」的函数,或者「没有本性奇点」的函数,两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数),而等号左边的也都是亚纯函数。这样,上式相当于给出了上的定义!

所有自然数的「和」

这还没完,试试在等号右边把换为,你会发现式子根本没变。这就说明:

现在让,就有

我们知道

并且,

因此:

我们便得出了全体自然数的「和」为这一结论。

黎曼猜想与素数

欧拉乘积公式

函数的原始定义出发:

在等式两边同时乘以第二项:

两式相减得:

这时,等号右边的分母上已经没有 2 的倍数了。重复这一过程:

以上两式相减,又有:

等号右边也没有 3 的倍数了。无限重复此过程,就有:

即:

可以写成:

这就是欧拉乘积公式,该表达式首先出现在 1737 年一篇题为《Variae observationes circa series infinitas》(无穷级数的各种观察)的论文中。
该恒等式展示了素数与函数间的联系。

莫比乌斯函数

奥古斯特・费迪南德・莫比乌斯之后重写了欧拉乘积公式,创造了一个新的求和。首先引入莫比乌斯函数:

和式用表示如下:

素数计数函数

定义为

表示不超过 x 的素数个数。
在间断点处用左右平均代替更好,重新定义:



有莫比乌斯反转

素数定理

素数定理由高斯和勒让德独立地阐述:

目前人类证明的素数定理的误差界是

从概率的角度来说,素数定理说明若你随机选择一个自然数,那么该数字为素数的概率约为。这意味着前个整数中相邻素数之间的平均间隙约为

对数积分函数

定义

称为对数积分函数。
那么

其中求和号的的非平凡零点,求和之后通常表现为震荡。至于剩下的常数和积分,对较大的可以忽略。

未完待续

敬请期待


参考文章:
黎曼猜想 - 维基百科
为什么全体自然数的和是负十二分之一? - 知乎
黎曼猜想跟素数分布有怎样的联系 - 知乎
黎曼猜想,及其解释(上) - 知乎
黎曼猜想,及其解释(下) - 知乎

拓展阅读:
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation
Does 1+2+3... Really Equal -1/12?
你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?