关于黎曼猜想

前几日关于黎曼猜想（Riemann Hypothesis）被证明的消息在网络上炒得沸沸扬扬，菲尔兹奖、阿贝尔奖双料得主 Michael Francis Atiyah 爵士声称他证明了这个困扰了数学界 160 年的问题，且其目的是为了研究精细结构常数。然而，在他公布了他的 Simple Proof 后，却不被学界所看好，甚至遭到了一些尖锐的批评。毕竟，这篇只有五页纸的文章，刨去介绍等内容，并没有展示太多的细节；其证明过程，又依赖于一个存疑的 Todd function。如果如证明中所说，黎曼猜想真的指向了精细结构常数，这对于由第一性原理出发构建物理学体系将有极大的启发性，其结果无疑是令人激动的。但是经过计算，却发现文中所声称的极限存在问题，整个理论的正确性难以得到证实。
有鉴于此，笔者研究该证明过程的计划搁置了（毕竟没有什么价值，大概可以用来提升读 Paper 的能力 #捂脸），还是写篇文章介绍下黎曼猜想本身吧。

猜想的提出

时间回到 1859 年，著名的德国数学家波恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann）在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想。黎曼本人在数学界颇有建树，但他却并没有试图对论文中的猜想给出证明。
这个猜想是关于黎曼函数的，该函数的定义为：

注意，函数必须经过解析延拓，才能在全复平面上有定义，稍后将给出解析延拓的过程。
而黎曼猜想就是：的所有非平凡零点的实部均为。

函数的解析延拓

前言

在中学数学中，我们所接触到的函数都是实变函数，即从实数集到实数集的映射，写为。在接触了虚数单位 i 和复数后，就可以开始定义复变函数，即复数集到复数集的映射，写为。实变函数的定义域被限制在了实轴上，而为了表示出一个与之对应的复变函数，就需要扩充其定义域到复平面上。这样，可以定义出复数域上的各种函数：指数、对数、三角函数等。由于复数的性质，还需要根据枝点规定割线、单值分支等，来确定出函数值。而原本定义域只在复平面上某一区域的复变函数，经过严格的数学推导（例如级数展开等），也可以扩充其定义域。这时，解析延拓的办法应运而生。对于函数而言，非常明显，当取在实轴上（即作为实变函数时），若，其函数值发散；而时收敛。特别的，时为调和级数，而时由高斯最早计算出了其函数值。
在复数域上，可以证明，在上解析。接下来，我们需要将其定义域扩展到全复平面；之前的级数定义将不在对的情况使用，因为它不收敛，无法采用 Cauchy 和。

梅林变换

梅林（Mellin）变换是一个积分变换，它把一个正实数域上的函数变换为一个复数域上的函数。设是一个函数，定义：

称为的梅林变换。
取为，则有：

这里的就是一般数理方程中会涉及到的函数，其性质不再赘述。
记住以上结论，取，继续构造函数：

注意到梅林变换是线性的，这时，

最后一个等号使用了函数的原始定义。考虑到：

于是，利用的两个等价表达式，我们得到了一个重要结论：

注意，这里的推导并非十分严谨，还需要证明其收敛性，才能交换积分与极限。这要求。

泊松求和

再来看一下 Fourier 变换

对于足够「好」的函数，可以证明泊松（Poisson）求和公式

这部分我们就证明这个公式。
假设足够「好」（要多好有多好），定义

则是上周期为的函数，于是可以构造的 Fourier 级数：令

是第个 Fourier 系数，则

而这个系数

从而

就得到了 Poisson 求和公式形式上的「证明」。
那么究竟要满足什么条件呢？
如果周期函数，就有。因此，我们要求二阶连续可导，并且
Math output error
使用导数一致收敛的判别法则，就得到啦。
也就是说，如果，并且满足以上条件，就有 Poisson 求和公式

解析延拓

设，令

很显然。
考虑，计算得，而且满足相应条件，因此用 Poisson 求和公式，

即。
换成就是。
第二部分的最后，得到了

因此

以上计算的前提是。
令，则当时，

现在观察：等号右边是一个亚纯函数（亚纯函数就是「能表示成两个解析函数的商」的函数，或者「没有本性奇点」的函数，两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数），而等号左边的、也都是亚纯函数。这样，上式相当于给出了在上的定义！

所有自然数的「和」

这还没完，试试在等号右边把换为，你会发现式子根本没变。这就说明：

现在让，就有

我们知道

并且，

因此：

我们便得出了全体自然数的「和」为这一结论。

黎曼猜想与素数

欧拉乘积公式

从函数的原始定义出发：

在等式两边同时乘以第二项：

两式相减得：

这时，等号右边的分母上已经没有 2 的倍数了。重复这一过程：

以上两式相减，又有：

等号右边也没有 3 的倍数了。无限重复此过程，就有：

即：

可以写成：

这就是欧拉乘积公式，该表达式首先出现在 1737 年一篇题为《Variae observationes circa series infinitas》（无穷级数的各种观察）的论文中。
该恒等式展示了素数与函数间的联系。

莫比乌斯函数

奥古斯特・费迪南德・莫比乌斯之后重写了欧拉乘积公式，创造了一个新的求和。首先引入莫比乌斯函数：

和式用表示如下：

素数计数函数

定义为

表示不超过 x 的素数个数。
在间断点处用左右平均代替更好，重新定义：

令

有莫比乌斯反转

素数定理

素数定理由高斯和勒让德独立地阐述：

目前人类证明的素数定理的误差界是

从概率的角度来说，素数定理说明若你随机选择一个自然数，那么该数字为素数的概率约为。这意味着前个整数中相邻素数之间的平均间隙约为。

对数积分函数

定义

称为对数积分函数。
那么

其中求和号的取的非平凡零点，求和之后通常表现为震荡。至于剩下的常数和积分，对较大的可以忽略。

未完待续

敬请期待

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参考文章：
黎曼猜想 - 维基百科
为什么全体自然数的和是负十二分之一？ - 知乎
黎曼猜想跟素数分布有怎样的联系 - 知乎
黎曼猜想，及其解释（上） - 知乎
黎曼猜想，及其解释（下） - 知乎

拓展阅读：
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation
Does 1+2+3... Really Equal -1/12?
你真会数数吗：1+2+3…= -1/12 ？