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密歇根湖的日落

你相信吗,仅仅利用一张日落的照片,你就能得出地球的半径大小!Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在 2008 年的一篇论文《The Earth is Not Flat——Can a photo of the sunset over Lake Michigan reveal the shape of our planet ?》中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析,不但证实了地球是圆的,还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。

事情的起因就是上面这张很平常的日落照片,以及这样一个大家平时并没有太在意的问题:太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形,但为什么在日出日落时,我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状?大家或许会很快想到,发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题:为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢?

这是因为 —— 想到这个问题的答案并不容易 —— 地球是圆的。下图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图,其中 O 为地球的中心,A 为人眼的位置,AB 为视平线,B 点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远,因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与 AB 的夹角记为,把经过水面上的一点 C 反射进入人眼的光线与 AB 的夹角记为。从图上可见,视角小,也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。

究竟比小多少呢?对照片进行精确地测量,可知太阳的直径相当于照片中的 317 个像素,而露出水面的部分高 69 像素,水中的倒影则只有 29 像素。众所周知太阳的视直径(看太阳的视角)为,因此我们就得到

如果再已知人眼(或者说相机)离水面的垂直距离 h 为 1.8 米,那么根据这些数据我们就足以估算出地球的半径了。不妨把记为,把记为,把人眼到水天相接处的距离 AB 记为 D,把人眼到反射点的距离 AC 记为 d,入射角和反射角记为,最后用 r 来表示地球半径。那么问题来了:试给出 r 的表达式并计算其值。

如下图所示,共有六个未知量,因此需要六个独立的方程。

由简单的几何学,有

不难解得

其中

代入数据得到

与目前的公认值数量级相同。

在原论文中,作者使用的数据是,并且在文中分析了误差的来源。得出的结论是湖面水波带来了较大的影响。有兴趣的话可以查看 Robert Vanderbei 教授的相关介绍,这里就不展开了。


笔者第一次见到这个问题,是在一次高中物理竞赛模拟考试中(2016 年左右,据称为国家队选拔试题)。后来在网络上搜索,发现 Matrix67 大佬曾在 2010 年发表了一篇文章介绍相关内容,而 Robert Vanderbei 教授的原文发表于 2008 年。这篇文章是如何翻译为中文,又是如何混进物理考试题库中?这背后有着怎样不为人知的故事?这些问题笔者没有进行考证。毕竟,单纯的讨论「用一张日落照片估算出地球的半径」就足够有趣了。