矩阵力学的诞生 —— 从旧量子论到量子力学

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矩阵力学是量子力学的一种表述形式，由海森堡、玻恩和约尔当于 1925 年完成。矩阵力学的思想出发点是玻尔原子模型中许多观点，例如电子的轨道，并不是可观测量。海森堡计划创造一个理论，只用实验中经常接触到的光谱线的频率、强度等物理量，完成对于系统动力学的描述。本文跟随海森堡的思路，对矩阵力学的发展过程进行了深入研究。

引言

19 世纪末，对于原子光谱学的研究取得了很大的进展，并产生了一些经验公式。其中有一条里兹组合规则（Ritz combination principle），其内容为：对光谱中的一条频率为的谱线，总是可以找到两个正整数与之对应；倘若存在对应和的谱线，那么可以给出的值为

并且，这个原子的光谱中，也一定包含频率为的谱线。特别地，若，那么有

从物理意义上来说，此过程的初末状态相同，即，那么里兹组合规则将蕴含的对称性。

对于氢原子这一最基础的情况，莱曼（Lyman）线系、巴耳末（Balmer）线系、里兹 - 帕申（Ritz-Paschen）线系等光谱线系被相继发现，它们的频率都满足里兹组合规则。1889 年，瑞典物理学家里德伯（Rydberg）提出了表示氢原子谱线的经验公式：

其中被称为里德伯常数。这一公式现在被称为里德伯 - 里兹公式（Rydberg formula），它为玻尔提出氢原子模型提供了灵感。

旧量子论

所谓「旧量子论」，指的是诞生于 20 世纪初期的一系列量子理论，包括普朗克黑体辐射理论和玻尔氢原子模型。开尔文勋爵（Lord Kelvin）所提出的著名的「两朵乌云」说 \footnote {1900 年 4 月 27 日，开尔文勋爵给英国皇家研究院做了一个广为人知的演讲，题为《覆盖热量和光线的动力学理论的十九世纪的乌云》（Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light）。}，就包含将经典统计物理中的能均分定理应用于黑体辐射时出现的「紫外灾难」问题。普朗克最终通过数学技巧给出了能够拟合维恩公式（Wien's displacement law）和瑞利 - 金斯公式（Rayleigh–Jeans law）的黑体辐射定律，解决了这一问题，并通过研究其物理意义，提出了普朗克量子化条件，那就是

普朗克的能量量子化假说，揭开了量子理论的序幕。1913 年，玻尔（Bohr）在他的导师卢瑟福（Rutherford）的研究基础上，提出了著名的玻尔氢原子模型。这一模型引入了一些重要的假说：

• 一个是「轨道」的概念，也就是说核外电子是在特定的轨道中运动，并且这样的运动是稳定的；\footnote {这一假说是为了解决经典电动力学理论中，电子会因为作加速运动时的电磁辐射失去能量，最终落到原子核中的问题。需要注意的是，玻尔的「轨道」思想与后来量子力学中「定态」的概念还有一定差距。}
• 另一个是「跃迁」，电子从一个轨道到另一个轨道，将会吸收或发射光子，频率满足。

这一套理论的推导还利用了所谓的对应原理，即在普朗克常数趋于 0，或者量子数趋于无穷时，量子体系的行为将会趋于经典体系。换言之，当量子数足够大时，氢原子可以看成电子围绕质子作圆周运动的朴素的经典模型。玻尔由此给出了轨道能量的表达式

并且，给出了一个推论，那就是角动量量子化条件

1916 年，索末菲（Sommerfeld）推广了这一条件，为 \footnote {可见玻尔的角动量量子化条件正是索末菲量子化条件的特殊情况，对角度环路积分得到的体现为。}

以上就是旧量子论的主要内容，它解决了氢原子光谱的波长问题，从理论上给出了里德伯常数的表达式。通过不同的实验方法给出的普朗克常数的值在误差范围内是相同的，这给了物理学者们强大的信心。但是，仍有许多问题无法通过旧量子论解决。例如，不同的谱线有强有弱，谱线强度表现的是发生某种跃迁的概率，但旧量子论无法给出理论研究。再如，玻尔的氢原子模型对类氢离子取得了成功，对于离子光谱的计算与毕克林（Pickering）线系吻合；但是对于多电子体系，或者存在外磁场的情况，就束手无策。

旧量子论所面临的这些巨大的局限性，必须依靠新的理论才能解决。

矩阵力学

1923 年，海森堡（Heissenberg）师从玻恩（Born），他的研究课题是从可观测量出发，建立一套普适的理论。在这样一个年代，原子光谱是探究微观世界的主要方式。海森堡认为，玻尔氢原子理论中的「轨道」本身无法被实验所证实，实验观察到的光谱全都是「跃迁」过程产生的。也就是说，可观测量与两个状态相关，而「轨道」概念则应当被抛弃。

而海森堡如何获得了矩阵力学的灵感？这一故事传得神乎其神。有说法是，1925 年夏天，他因患上花粉热在黑尔戈兰岛（Helgoland）上修养，一天凌晨他突然意识到了在对量子体系的描述中，物理量应当用一个方阵来表示；这一新奇的思想使他夜不能寐。在海边等待日出后，海森堡记录下了有关的想法。\cite {historical1982} 最终有关的工作一共诞生了三篇文章：

• 《Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechaniseher Beziehungen》，作者为海森堡，提出了矩阵力学所具有的形式；\cite {heisenberg1985quantentheoretische}
• 《Zur Quantenmechanik》，作者为玻恩和约尔当（Jordan），给出了对易关系；\cite {born1925quantenmechanik}
• 《Zur Quantenmechanik. II》，为以上三人合作，是一篇矩阵力学的综述。\cite {born1926quantenmechanik}

在一些教科书或量子力学历史书中，这三篇文章根据作者数量，也被分别称为一人论文、二人论文和三人论文。

狄拉克在这年年底发表的文章《The Fundamental Equations of Quantum Mechanics》则被视为对海森堡矩阵力学的补充，给出了对于对易关系更普适的证明。\cite {dirac1925fundamental}

接下来我们以海森堡的一人论文出发，探寻矩阵力学建立的思路。玻尔氢原子模型中，通过「轨道」的概念消除了电磁辐射的影响。而跃迁发出的光子同样是一种电磁辐射。海森堡从这一点出发，在经典电动力学中，辐射功率为

对于一个动力学系统，将坐标作傅里叶展开，得到

求二阶导数，得到

其中量子数为的项对应的系数为

代入得到

另一方面，辐射功率的物理意义是：一次跃迁产生的能量与单位时间内发生跃迁的概率的乘积，即

海森堡原文中的符号，表现的物理意义是和两个态之间的跃迁，即

由此我们得到了跃迁概率

联想到此前给出的里兹组合规则，将其作为求和规则，与矩阵乘法是等价的。因此，将物理量 A 写为一个矩阵的形式，将得到一套自洽的理论。

根据海森堡的设想，每一个动力学变量都应由一个矩阵表示，而可观测量则是这些矩阵元，每一个矩阵元都和两个态有关。这便是矩阵力学的雏形。\cite {doi:10.1119/1.1775243}

对易关系

一个自然的问题是，在许多情况下，我们需要计算物理量之间的乘积。例如，动能可以写为。然而，矩阵乘法往往存在不对易性，运算规则势必与经典力学不同。最简单地，在氢原子中，电子的坐标可以写作

而相应的动量则为

将对易子定义为

显然没有理由认为其值为零。

海森堡最初并没有解决这一问题。玻恩继续了他的推导，这里需要先证明一个引理。利用有：

根据索末菲量子化条件和对应原理，这等价于

另一方面，通过考虑的矩阵元，玻恩敏锐地发现由于对称性，这是一个对角矩阵，非对角元全部为 0。而对角元可以写为：

前面我们说到，根据里兹组合规则，有，这对应着

而

可见的第一项可以写为

第二项同理，最终我们得到

与比较，得到了这个特殊情况下的结果

换言之

今天这一对易关系被称为量子力学的基本方程式。

狄拉克对对易关系的证明则是从分析力学出发的，借助于柏松括号

和对应原理

同样可以证明系数。

总结

矩阵力学无疑是成功的，许多旧量子论所无法研究的问题都通过这一新理论得到解决。要说有什么遗憾，那就是在一年后的 1926 年，薛定谔（Schrödinger）提出的波动力学获得了物理学者们的青睐，而矩阵力学则受到了冷落。毕竟，在那个年代之前，线性代数并不普遍地被物理学研究使用，只在解线性方程组，例如简正模式时需要。就连海森堡自己，一开始也不知道这样的形式被称为「矩阵」，是一个已经被数学家们熟知的工具。

随着薛定谔和冯・诺伊曼（John von Neumann）证明了波动力学和矩阵力学的数学等价性，现代量子力学的体系也从此建立起来。