米米的博客

本文同时作为北京大学《量子力学讨论班》课程论文提交。转载请注明出处。

矩阵力学是量子力学的一种表述形式，由海森堡、玻恩和约尔当于 1925 年完成。矩阵力学的思想出发点是玻尔原子模型中许多观点，例如电子的轨道，并不是可观测量。海森堡计划创造一个理论，只用实验中经常接触到的光谱线的频率、强度等物理量，完成对于系统动力学的描述。本文跟随海森堡的思路，对矩阵力学的发展过程进行了深入研究。

引言

19 世纪末，对于原子光谱学的研究取得了很大的进展，并产生了一些经验公式。其中有一条里兹组合规则（Ritz combination principle），其内容为：对光谱中的一条频率为的谱线，总是可以找到两个正整数与之对应；倘若存在对应和的谱线，那么可以给出的值为

并且，这个原子的光谱中，也一定包含频率为的谱线。特别地，若，那么有

从物理意义上来说，此过程的初末状态相同，即，那么里兹组合规则将蕴含的对称性。

对于氢原子这一最基础的情况，莱曼（Lyman）线系、巴耳末（Balmer）线系、里兹 - 帕申（Ritz-Paschen）线系等光谱线系被相继发现，它们的频率都满足里兹组合规则。1889 年，瑞典物理学家里德伯（Rydberg）提出了表示氢原子谱线的经验公式：

其中被称为里德伯常数。这一公式现在被称为里德伯 - 里兹公式（Rydberg formula），它为玻尔提出氢原子模型提供了灵感。

旧量子论

所谓「旧量子论」，指的是诞生于 20 世纪初期的一系列量子理论，包括普朗克黑体辐射理论和玻尔氢原子模型。开尔文勋爵（Lord Kelvin）所提出的著名的「两朵乌云」说 \footnote {1900 年 4 月 27 日，开尔文勋爵给英国皇家研究院做了一个广为人知的演讲，题为《覆盖热量和光线的动力学理论的十九世纪的乌云》（Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light）。}，就包含将经典统计物理中的能均分定理应用于黑体辐射时出现的「紫外灾难」问题。普朗克最终通过数学技巧给出了能够拟合维恩公式（Wien's displacement law）和瑞利 - 金斯公式（Rayleigh–Jeans law）的黑体辐射定律，解决了这一问题，并通过研究其物理意义，提出了普朗克量子化条件，那就是

普朗克的能量量子化假说，揭开了量子理论的序幕。1913 年，玻尔（Bohr）在他的导师卢瑟福（Rutherford）的研究基础上，提出了著名的玻尔氢原子模型。这一模型引入了一些重要的假说：

• 一个是「轨道」的概念，也就是说核外电子是在特定的轨道中运动，并且这样的运动是稳定的；\footnote {这一假说是为了解决经典电动力学理论中，电子会因为作加速运动时的电磁辐射失去能量，最终落到原子核中的问题。需要注意的是，玻尔的「轨道」思想与后来量子力学中「定态」的概念还有一定差距。}
• 另一个是「跃迁」，电子从一个轨道到另一个轨道，将会吸收或发射光子，频率满足。

这一套理论的推导还利用了所谓的对应原理，即在普朗克常数趋于 0，或者量子数趋于无穷时，量子体系的行为将会趋于经典体系。换言之，当量子数足够大时，氢原子可以看成电子围绕质子作圆周运动的朴素的经典模型。玻尔由此给出了轨道能量的表达式

并且，给出了一个推论，那就是角动量量子化条件

1916 年，索末菲（Sommerfeld）推广了这一条件，为 \footnote {可见玻尔的角动量量子化条件正是索末菲量子化条件的特殊情况，对角度环路积分得到的体现为。}

以上就是旧量子论的主要内容，它解决了氢原子光谱的波长问题，从理论上给出了里德伯常数的表达式。通过不同的实验方法给出的普朗克常数的值在误差范围内是相同的，这给了物理学者们强大的信心。但是，仍有许多问题无法通过旧量子论解决。例如，不同的谱线有强有弱，谱线强度表现的是发生某种跃迁的概率，但旧量子论无法给出理论研究。再如，玻尔的氢原子模型对类氢离子取得了成功，对于离子光谱的计算与毕克林（Pickering）线系吻合；但是对于多电子体系，或者存在外磁场的情况，就束手无策。

旧量子论所面临的这些巨大的局限性，必须依靠新的理论才能解决。

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本视频使用的两段素材分别来自某次物理竞赛集训（拍摄于华中科技大学），以及普物实验课程（拍摄于北京大学）；音频为后期加上。
为了对上音轨，视频前有一段黑屏，这是 feature 而非 bug。敬请欣赏。

【東方】Bad Apple!!　ＰＶ【影絵】 - ニコニコ動画

随着新 ECMAScript 标准的普及，许多曾经的 JavaScript 常见写法可以用更简单清楚的语法重构。本文做了一个简单的整理。

三元操作符

当想写 if...else 语句时，使用三元操作符来代替。

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const x = 20;
let answer;

if (x > 10) {
    answer = "is greater";
} else {
    answer = "less than 10";
}

简写：

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const answer = x > 10 ? "greater than 10" : "less than 10";

if 语句也可以像这样嵌套：

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const answer = x > 10 ? "greater than 10" : x < 5 ? "less than 5" : "between 5 and 10";

短路求值简写方式

当给一个变量赋值时，你可能想要确定值不是 null，undefined 或空值。可以写一个多重条件的 if 语句：

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if (variable1 !== null || variable1 !== undefined || variable1 !== "") {
    let variable2 = variable1;
}

或者可以使用短路求值方法：

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const variable2 = variable1 || "new";

另一个例子：

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let dbHost;
if (process.env.DB_HOST) {
    dbHost = process.env.DB_HOST;
} else {
    dbHost = "localhost";
}

简写：

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const dbHost = process.env.DB_HOST || "localhost";

声明变量简写方法

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let x;
let y;
let z = 3;

简写方法：

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let x, y, z = 3;